Puntos críticos

Extremos

Pueden ser máximos o mínimos relativos.

Máximo: donde termina un C(crecimiento)­ y empieza un C(decrecimiento)

Mínimo: donde termina un C(decrecimiento) y empieza un C(crecimiento)­

Puntos de inflexión

Donde la función cambia de curvatura.

Ejemplo: la función x^3 tiene un punto de inflexión en x = 0

a la izquierda se observa la curvatura marcada en azul y a la derecha se observa la curvatura marcada en rojo:

Teorema de Bolzano

Sea f(x) una función continua en un intervalo [a;b]

Si f(a) tiene distinto signo que f(b) entonces hay un cero de la función entre a y b

Ejemplo:

f(a) es positiva y f(b) es negativa

por lo tanto hay un x₁ que es cero de la función tal que a es menor que x1 y b es mayor que x1

Con el mismo criterio podemos decir que:

Sea f(x) una función continua en un intervalo [a;b]

Si no hay ningún cero de la función entre a y b, entonces la función tiene todo el tiempo el mismo signo durante todo el intervalo [a;b].

Por lo tanto nos alcanza con averiguar el signo de un punto cualquiera que esté entre a y b, para saber el signo de todo el intervalo.

Ejemplo:

x1 es mayor que a y menor que b

f(x₁) es positiva

por lo tanto la función es positiva durante todo el intervalo [a;b]

Aplicaciones

Supongamos C⁰ = {x₁ ; x₂; x₃}

con x₁ menor que x2 y x2 menor que x3

Sabiendo esto armamos los siguientes intervalos:

1. (-infinito; x₁)
2. (x₁ ; x₂)
3. (x_{2 ;} x₃)
4. (x_{3 ;} + infinito)

Averiguamos el signo de un elemento cualquiera del intervalo 1, con eso sabemos el signo de todo el intervalo 1. Averiguamos el signo de un elemento cualquiera del intervalo 2, con eso sabemos el signo de todo el intervalo 2; y así sucesivamente.

Con eso podemos conocer C⁺ y C^-, lo cual es necesario para realizar el gráfico.

Uso de la derivada

Sea f ’(x) la derivada de f (x)

C⁺ de f ’(x) = C­(crecimiento) de f (x)

C^- de f ’(x) = C(decrecimiento) de f (x)

C⁰ de f ’(x)= puntos críticos de f(x)

Los puntos críticos pueden ser máximos locales (la función venía creciendo y después va a decrecer), mínimos locales (la función venía decreciendo y después va a crecer) o puntos de inflexión (cambios de curvatura)

Cantidad de partículas

neutrones = no tienen carga

protones = cargas positivas

Los protones y los neutrones se encuentran en el núcleo.

electrones = cargas negativas

Los electrones se encuentran en la periferia formando órbitas

Z = Número atómico = Número de protones

= Cantidad de cargas positivas que se encuentran en el núcleo

Los electrones pesan muy poco (peso despreciable).

Los protones y los neutrones pesan todos lo mismo: 1 UMA

A = Número másico = Cantidad de UMAs que pesa el átomo

= Cantidad de protones + Cantidad de neutrones

= Z + cantidad de neutrones

Despejando esta ecuación obtenemos:

Cantidad de neutrones = A – Z

Un átomo tiene carga neutra, por lo tanto la cantidad de cargas positivas es igual a la cantidad de cargas negativas, es decir que tiene igual cantidad de protones que de electrones.

En ese caso:

Z = cantidad de protones = cantidad de electrones

Un ion tiene una carga eléctrica neta que no es nula. La carga neta se deduce de la diferencia entre la cantidad de cargas positivas y la cantidad de cargas negativas.

Q = carga neta = cantidad de cargas positivas – cantidad de cargas negativas

= cantidad de protones – cantidad de electrones

= Z – cantidad de electrones

Despejando esta ecuación obtenemos:

Q + Cantidad de electrones = Z

Cantidad de electrones = Z – Q

Los iones pueden ser aniones o cationes. Los cationes tienen Q positiva y los aniones tienen Q negativa.

La carga de un ion también se denomina número de oxidación

Los átomos (neutros) también presentan número de oxidación, pero en este caso no se refiere a la carga eléctrica sino a la cantidad de electrones propios que comparten en total entre todas las uniones covalentes que presentan.

En la tabla periódica encontramos la siguiente ubicación de los números:

(generalizando como X al símbolo químico de cualquier elemento)

Cantidad de ADN

Mitosis

Interfase G1) Cromosomas sin duplicar

Interfase S) Ocurre la duplicación

Interfase G2) Cromosomas duplicados. Hay el doble de ADN que en G1

Se mantiene lo que hay en G2 hasta la Metafase

Anafase) Se separan CROMÁTIDES

Cada polo de Telofase) Hay la mitad de ADN que lo que hay en G2, o sea lo mismo que en G1

Nueva Interfase G1) Lo mismo que en cada polo de la telofase

Como la cantidad inicial de ADN es la misma que la que tiene cada célula hija, es CONSERVATIVA

Meiosis

Interfase G1) Cromosomas sin duplicar

Interfase S) Ocurre la duplicación

Interfase G2) Cromosomas duplicados. Hay el doble de ADN que en G1

Se mantiene lo que hay en G2 hasta la Metafase I

Anafase I) Se separan HOMÓLOGOS

Cada polo de Telofase I) Hay la mitad de ADN que lo que hay en G2, o sea lo mismo que en G1

Nueva Interfase G1) Lo mismo que en cada polo de la telofase I

Se mantiene lo que hay en la nueva G1 hasta Metafase II

Anafase II) Se separan CROMÁTIDES

Cada polo de Telofase II) Hay la mitad de ADN que en la 2º G1, o sea la cuarta parte que en la 1º G1

Nueva interfase G1) Lo mismo que en cada polo de Telofase II

Como la cantidad inicial de ADN es el doble de lo que hay en cada célula hija, es REDUCCIONAL

Ejemplo

Supongamos una célula 2n = 4 con cantidad inicial de ADN = 100

Mitosis

G1	1	si	2	4	4	100	2n = 4
G2	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Profase	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Metafase	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Telofase	1	si	2	4	4	100	2n = 4

Meiosis

1º G1	1	si	2	4	4	100	2n = 4
1º G2	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Profase I	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Metafase I	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Telofase I	2	no	-	2	4	100	n = 2
2º G1	2	no	-	2	4	100	n = 2
Profase II	2	no	-	2	4	100	n = 2
Metafase II	2	no	-	2	4	100	n = 2
Telofase II	1	no	-	2	2	50	n = 2