Factorizar

Cuatrinomio cubo perfecto

1. 8y³ + 125x³ + 60xy² + 150yx² =
2. 343a³ + 147a² + 21a + 1 =
3. 17xy² + 27y³ + 9x²y + x³ =
4. 6a²b²x + 8x³ + 12abx² + a³b³ =
5. 8x³ + 36a² + 54a + 27 =
6. x³ + 57x² + 1083x + 6859 =
7. x³ – 3x² + 3x – 1 =
8. x³ – 3ax² + 3a²x – a³ =
9. x³ – 9x²y + 27xy² – 27y³ =
10. 6xy² + 8x³ – y³ - 12 x²y =

Factor común en grupos

1. 7a + 7b + bx + ax =
2. x² + 2x + 5a + 7 =
3. 3xy + 3 + 9x + y =
4. 15 + ab + 3b + 5a =
5. 25a – ax + 25 – x =
6. ax + 3b – 3a – bx =
7. abx + x – ab – 1 =
8. 8b – xb + 32 – 4x =
9. 5x + 55m + x² + 11mx =
10. a² + ay + a + y =

Diferencia de cuadrados

1. x² – 1 =
2. x⁴ – 25 =
3. x² – 4 =
4. a²b² – 9 =
5. a² – b² =
6. x²y⁶ – 16 =
7. 4x² – 9y⁴ =
8. -25y⁶ + 16 =
9. -4 + a²b² =
10. - 9b² + a² =

Trinomio cuadrado perfecto

1. x² + 1 + 2x =
2. 9 + 12x + 4x² =
3. a²b² + 2ab + 1 =
4. a²b² + 2aby + y² =
5. x² + 4 – 4x =
6. x² – 2x + 1 =
7. a² – 2ax + x² =
8. a² + 4x² – 4ax =
9. 25 – 10a + a² =
10. 4a² + 8ab + 4b² =

Entropía y Entalpía

Existe una ecuación que relaciona la entropía y la entalpía con la energía libre de Gibbs, por lo tanto sirve para determinar la espontaneidad de una reacción conociendo su variación de entropía y su entalpía.

d = delta (variación)

dG = dH - TdS

Si dH < 0 y dS > 0 entonces dG es negativo a cualquier temperatura

por lo tanto: Es espontáneo a cualquier temperatura

Si dH > 0 y dS < 0 entonces dG es positivo a cualquier temperatura

por lo tanto: Es no espontáneo a cualquier temperatura

Si dH < 0 y dS < 0 entonces - TdS es positivo, entonces dG será negativo a bajas temperaturas

por lo tanto: Es espontáneo sólo a bajas temperaturas

Si dH > 0 y dS > 0 entonces - TDS es negativo, entonces dG será negativo a altas temperaturas

por lo tanto: Es espontáneo sólo a altas temperaturas

Números de oxidación en oxoácidos

El número de oxidación en compuestos iónicos monoatómicos es igual a su carga neta. En compuestos que no son monoatómicos e incluso que no son iónicos, tiene que ver además con la cantidad de electrones que utilizan en la unión. En un compuesto covalente neutro, el número de oxidación de un átomo es la cantidad de electrones que comparte y su signo depende de la electronegatividad. Cada par electrónico enlazante es compartido por 2 átomos, de esos 2 el más electronegativo tendrá número de oxidación negativo y el otro tendrá número de oxidación positivo.

Los oxoácidos están compuestos por un no metal oxidado y algún protón que está unido a uno de los oxígenos. Pueden contener diferente cantidad de oxígeno, y según esa cantidad se les asigna un nombre distinto. La cantidad de oxígeno define la cantidad de electrones compartidos y por ende el número de oxidación. Tomaremos el caso de los halógenos que pueden tener 4 números de oxidación distintos.

Este oxoácido tiene 1 solo oxígeno y el halógeno está compartiendo 1 solo electrón, por lo tanto su número de oxidación es +1 y es el menor de todos (el oxígeno siempre tendrá número de oxidación –2, porque es más electronegativo que cualquier otro átomo y siempre comparte 2 electrones).

El nombre de este compuesto será: ácido hipo(halógeno)oso, por ejemplo: ácido hipocloroso.

Este oxoácido tiene 2 oxígenos y el halógeno está compartiendo 3 electrones (presenta una unión dativa). Por lo tanto su número de oxidación es +3.

Se llamará ácido (halógeno)oso, por ejemplo: ácido cloroso.

El oxoanión correspondiente se llamará ion(halógeno)ito, por ejemplo: ion hipoclorito.

Este oxoácido tiene 3 oxígenos y el halógeno está compartiendo 5 electrones (presenta 2 uniones dativas). Por lo tanto su número de oxidación es +5.

Se llamará ácido (halógeno)ico, por ejemplo: ácido clórico.

El oxoanión correspondiente se llamará ion (halógeno)ato ejemplo: ion clorato.

Este oxoácido tiene 4 oxígenos y el halógeno está compartiendo sus 7 electrones (presenta 3 uniones dativas, comparte todos los electrones que tiene). Por lo tanto su número de oxidación es +7.

Se llamará ácido per(halógeno)ico, por ejemplo: ácido perclórico.

El oxoanión correspondiente se llamará ion per(halógeno)ato ejemplo: ion perclorato.

MRUV

Se trata de un movimiento en línea recta donde la velocidad varía linealmente en función del tiempo. La pendiente de la ecuación de velocidad es la aceleración y su ordenada al origen es la velocidad inicial.

a = dv/dt

(cuánto aumenta o disminuye la velocidad instantánea por unidad de tiempo)

[a] = [v] / [t] = ( [x] / [t] )/ [t] = [x] / [t]² = m/s²

v = at + v₀

Retomando el concepto de pendiente para derivadas, la velocidad es la derivada de la posición. Por lo tanto para obtener la ecuación de la posición se debe integrar la ecuación de velocidad, obteniéndose lo siguiente:

x = ½ at² + v₀t + x₀

Se trata de una función cuadrática. El objeto llegará a una posición mínima o máxima y luego retrocederá. En cada punto la velocidad instantánea es la pendiente de la recta tangente al gráfico de la posición, lo cual se calcula por derivadas.

Son casos particulares de MRUV:

caída libre: El objeto se deja caer desde una cierta altura y cae verticalmente.

tiro vertical: El objeto se lanza verticalmente, sube hasta una altura máxima y luego cae verticalmente.

En ambos casos la aceleración es g = 9,8 m/s²

(aceleración gravitatoria)

MRU

Se trata de un movimiento en línea recta donde la posición varía linealmente en función del tiempo:

Se considera tiempo negativo a lo que ocurrió antes que el 0 de nuestro sistema de referencia. Se considera posición negativa a lo que se encuentra antes que el 0 de nuestro sistema de referencia.

Al elegir un sistema de referencia en el espacio no sólo debe ubicarse dónde se encuentra el 0 sino también para cual de los 2 sentidos se considera que la recta avanza.

Si el objeto se mueve en sentido contrario que nuestro sistema de referencia, se considera que tiene velocidad negativa.

La pendiente de la recta es la velocidad (es constante para este tipo de movimiento). No hay aceleración (a = 0), esto es lo que anula el término cuadrático que se ve en MRUV.

La ordenada al origen es la posición inicial (posición en tiempo 0).

v = dx/dt

(cuánta distancia se avanza o retrocede por unidad de tiempo)

[v] = [x] / [t] = m/s

x = vt + x₀

Factorización de números

Para factorizar un número se lo debe dividir sucesivamente por números primos (los que sólo son divisibles por sí mismo y por el 1).

El primer número primo es el 2, le sigue el 3, después el 5, el 7, el 11...

El 4 no es primo porque es divisible por 2, el 6 no es primo porque es divisible por 2 y por 3...

Se debe probar primero con el primer número primo (el 2), después con el segundo (el 3), después con el tercero (el 5) y así sucesivamente. Luego de dividir sucesivas veces por 2, cuando ya no sea divisible por 2 se lo divide por 3. Luego de dividir sucesivas veces por 3, cuando ya no sea divisible por 3 se lo divide por 5. Y así sucesivamente hasta que el resultado de la división sea 1. Con esto se obtienen todos los números primos que lo dividen y cuántas veces lo puede dividir cada uno.

Ejemplo:

Por lo tanto:

2520 = 2³.3².5.7

Esta técnica es útil cuando tenemos raíces que no dan justo. Ejemplo:

Asíntotas

Factorización de polinomios

1. Busco factor común. Si todos los términos contienen x, el factor común será x al menor exponente que aparezca. Dentro del paréntesis, las x serán n grados menores siendo n el exponente del factor común. Ejemplos:

2x⁴ + x³ + -15x² – 18x = x (2x³ + x² + -15x – 18)

Las x que figuran entre paréntesis son 1 grado menor que antes de factorizar porque el factor que sacamos es x¹

2x⁶ + x⁵ + -15x³ – 18x² = x² (2x⁴ + x³ + -15x – 18)

Las x que figuran entre paréntesis son 2 grados menores que antes de factorizar porque el factor que sacamos es x²

2. Si conozco previamente alguno de los ceros del polinomio, utilizo ese dato para aplicar Ruffini. Ejemplo:

x (2x³ + x² + -15x – 18) = x (x – 3) (2x² + 7x + 6)

Puedo calcular esta equivalencia por Ruffini si conozco de antemano que 3 es cero del polinomio.

3. Las cuadráticas que me queden como factores les aplico la fórmula de los ceros de la cuadrática. Con eso puedo convertir una cuadrática en 2 lineales (si tiene 2 ceros), o en una lineal al cuadrado (si tiene un cero doble), o descubrir que no se puede factorizar (si no tiene ceros).

Ruffini

Se trata de un método rápido de dividir un polinomio por otro.

Sea x₁ es cero del polinomio axⁿ + bx^m + c^o...

entonces ese polinomio es igual a (x - x₁)(dx^n-1 + fx^m-1 + g^o-1...).

Para dividir a un polinomio se colocan todos los coeficientes en fila y el cero del polinomio a la izquierda. Los coeficientes deben estar ordenados por grado. Se suma la columna, el resultado se multiplica por el cero y se coloca en la siguiente columna. Se repite el procedimiento hasta llegar a la última columna, donde la suma debe dar cero.

Los coeficientes obtenidos en las sucesivas sumas serán en el factor resultante los coeficientes de la x de grado inmediatamente menor al de la x original a la que correspondia el coeficiente que se sumó.

Para que la division de exacto, la última suma debe dar cero. Si c es el último coeficiente, entonces:

(b + a x₁) x₁ + c = 0

a debe ser el coeficiente de la x de mayor grado, b la que le sigue, c la que le sigue a b, y asi sucesivamente. Si algun grado no figura en el polinomio, no se lo debe saltear sino colocarse un 0 en ese casillero. Ejemplo:

Si vamos a dividir el polinomio 6x⁵ + 3x³ + x² + 1 los coeficientes serán, de izq a der: 6, 0, 3, 1, 0, 1 (los coeficientes que valen 0 corresponden a los términos de x⁴ y x).

El resultado de la suma de la primera columna corresponderá a x⁴ porque provenía del coeficiente de x⁵, el resultado de la suma de la segunda columna corresponderá a x³ porque provenía del coeficiente de x⁴ y asi sucesivamente.

Ejemplo de división:

3 es cero del polinomio 2x³ + x² –15x – 18

Por lo tanto 2x³ + x² + -15x – 18 = (x – 3) (2x² + 7x + 6)

Determinante

ax² + bx + c = 0

x = (-b +/- (raiz cuadrada de) (b^2 - 4ac))/2a

det = b² – 4ac

Si det mayor a 0 entonces: Hay 2 ceros

Si det menor a 0 entonces: Hay que hacer raiz cuadrada de Nº negativo; No existe; No hay ceros

Si det = 0 entonces: x = -b/2a = vértice; Hay un solo cero y coincide con el vértice

Puntos críticos

Extremos

Pueden ser máximos o mínimos relativos.

Máximo: donde termina un C(crecimiento)­ y empieza un C(decrecimiento)

Mínimo: donde termina un C(decrecimiento) y empieza un C(crecimiento)­

Puntos de inflexión

Donde la función cambia de curvatura.

Ejemplo: la función x^3 tiene un punto de inflexión en x = 0

a la izquierda se observa la curvatura marcada en azul y a la derecha se observa la curvatura marcada en rojo:

Teorema de Bolzano

Sea f(x) una función continua en un intervalo [a;b]

Si f(a) tiene distinto signo que f(b) entonces hay un cero de la función entre a y b

Ejemplo:

f(a) es positiva y f(b) es negativa

por lo tanto hay un x₁ que es cero de la función tal que a es menor que x1 y b es mayor que x1

Con el mismo criterio podemos decir que:

Sea f(x) una función continua en un intervalo [a;b]

Si no hay ningún cero de la función entre a y b, entonces la función tiene todo el tiempo el mismo signo durante todo el intervalo [a;b].

Por lo tanto nos alcanza con averiguar el signo de un punto cualquiera que esté entre a y b, para saber el signo de todo el intervalo.

Ejemplo:

x1 es mayor que a y menor que b

f(x₁) es positiva

por lo tanto la función es positiva durante todo el intervalo [a;b]

Aplicaciones

Supongamos C⁰ = {x₁ ; x₂; x₃}

con x₁ menor que x2 y x2 menor que x3

Sabiendo esto armamos los siguientes intervalos:

1. (-infinito; x₁)
2. (x₁ ; x₂)
3. (x_{2 ;} x₃)
4. (x_{3 ;} + infinito)

Averiguamos el signo de un elemento cualquiera del intervalo 1, con eso sabemos el signo de todo el intervalo 1. Averiguamos el signo de un elemento cualquiera del intervalo 2, con eso sabemos el signo de todo el intervalo 2; y así sucesivamente.

Con eso podemos conocer C⁺ y C^-, lo cual es necesario para realizar el gráfico.

Uso de la derivada

Sea f ’(x) la derivada de f (x)

C⁺ de f ’(x) = C­(crecimiento) de f (x)

C^- de f ’(x) = C(decrecimiento) de f (x)

C⁰ de f ’(x)= puntos críticos de f(x)

Los puntos críticos pueden ser máximos locales (la función venía creciendo y después va a decrecer), mínimos locales (la función venía decreciendo y después va a crecer) o puntos de inflexión (cambios de curvatura)

Cantidad de partículas

neutrones = no tienen carga

protones = cargas positivas

Los protones y los neutrones se encuentran en el núcleo.

electrones = cargas negativas

Los electrones se encuentran en la periferia formando órbitas

Z = Número atómico = Número de protones

= Cantidad de cargas positivas que se encuentran en el núcleo

Los electrones pesan muy poco (peso despreciable).

Los protones y los neutrones pesan todos lo mismo: 1 UMA

A = Número másico = Cantidad de UMAs que pesa el átomo

= Cantidad de protones + Cantidad de neutrones

= Z + cantidad de neutrones

Despejando esta ecuación obtenemos:

Cantidad de neutrones = A – Z

Un átomo tiene carga neutra, por lo tanto la cantidad de cargas positivas es igual a la cantidad de cargas negativas, es decir que tiene igual cantidad de protones que de electrones.

En ese caso:

Z = cantidad de protones = cantidad de electrones

Un ion tiene una carga eléctrica neta que no es nula. La carga neta se deduce de la diferencia entre la cantidad de cargas positivas y la cantidad de cargas negativas.

Q = carga neta = cantidad de cargas positivas – cantidad de cargas negativas

= cantidad de protones – cantidad de electrones

= Z – cantidad de electrones

Despejando esta ecuación obtenemos:

Q + Cantidad de electrones = Z

Cantidad de electrones = Z – Q

Los iones pueden ser aniones o cationes. Los cationes tienen Q positiva y los aniones tienen Q negativa.

La carga de un ion también se denomina número de oxidación

Los átomos (neutros) también presentan número de oxidación, pero en este caso no se refiere a la carga eléctrica sino a la cantidad de electrones propios que comparten en total entre todas las uniones covalentes que presentan.

En la tabla periódica encontramos la siguiente ubicación de los números:

(generalizando como X al símbolo químico de cualquier elemento)

Cantidad de ADN

Mitosis

Interfase G1) Cromosomas sin duplicar

Interfase S) Ocurre la duplicación

Interfase G2) Cromosomas duplicados. Hay el doble de ADN que en G1

Se mantiene lo que hay en G2 hasta la Metafase

Anafase) Se separan CROMÁTIDES

Cada polo de Telofase) Hay la mitad de ADN que lo que hay en G2, o sea lo mismo que en G1

Nueva Interfase G1) Lo mismo que en cada polo de la telofase

Como la cantidad inicial de ADN es la misma que la que tiene cada célula hija, es CONSERVATIVA

Meiosis

Interfase G1) Cromosomas sin duplicar

Interfase S) Ocurre la duplicación

Interfase G2) Cromosomas duplicados. Hay el doble de ADN que en G1

Se mantiene lo que hay en G2 hasta la Metafase I

Anafase I) Se separan HOMÓLOGOS

Cada polo de Telofase I) Hay la mitad de ADN que lo que hay en G2, o sea lo mismo que en G1

Nueva Interfase G1) Lo mismo que en cada polo de la telofase I

Se mantiene lo que hay en la nueva G1 hasta Metafase II

Anafase II) Se separan CROMÁTIDES

Cada polo de Telofase II) Hay la mitad de ADN que en la 2º G1, o sea la cuarta parte que en la 1º G1

Nueva interfase G1) Lo mismo que en cada polo de Telofase II

Como la cantidad inicial de ADN es el doble de lo que hay en cada célula hija, es REDUCCIONAL

Ejemplo

Supongamos una célula 2n = 4 con cantidad inicial de ADN = 100

Mitosis

G1	1	si	2	4	4	100	2n = 4
G2	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Profase	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Metafase	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Telofase	1	si	2	4	4	100	2n = 4

Meiosis

1º G1	1	si	2	4	4	100	2n = 4
1º G2	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Profase I	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Metafase I	2	si	2	4	8	200	2n = 4
Telofase I	2	no	-	2	4	100	n = 2
2º G1	2	no	-	2	4	100	n = 2
Profase II	2	no	-	2	4	100	n = 2
Metafase II	2	no	-	2	4	100	n = 2
Telofase II	1	no	-	2	2	50	n = 2

Cómo representar fracciones en la recta numérica

1. Si la fracción está entre 0 y 1, debo dividir el segmento [0; 1] en tantas partes como me indique el denominador. Luego marco la parte que me indique el numerador. Ejemplo: si tengo 1/5 divido al entero en 5 partes iguales y marco la primera; si tengo 2/3 divido al entero en 3 partes y marco la segunda.
2. Si la fracción es más grande que un entero, primero debo pasar la fracción a número mixto. Los números mixtos tienen una parte entera y una parte fraccionaria. Para averiguar el valor de cada parte, hago la cuenta. Ejemplo:

8/5 = ocho quintos = ocho dividido cinco

cociente = 1

resto = 3

Por lo tanto tengo 1 entero y me sobran 3/5

Entonces en lugar de partir en 5 partes iguales lo que está entre 0 y 1, divido en 5 partes iguales el segmento que va del 1 al 2. Como me sobraron 3/5, marco la tercera.

Suma de vectores

Método gráfico

Este método consiste en trazar la recta paralela a cada vector que pase por el extremo del otro vector. Por ejemplo en la figura se trazó la paralela al vector B que pasa por el extremo del vector A y la paralela al vector A que pasa por el extremo del vector B. Las rectas que se trazaron se prolongan hasta que se crucen. El vector suma de los otros 2 vectores es el que va desde el origen hasta ese punto donde se cruzan dichas 2 rectas. En la figura:

A + B = C

Para restar vectores, se traza el vector opuesto del que se quiere restar.

Ejemplo: A – B = A + (el opuesto de B).

Para ello:

§ Si se conocen las componentes, se trazan ambas componentes con signo contrario

§ Si se conoce el módulo y la inclinación, se prolonga la recta hacia el otro lado del origen hasta alcanzar el mismo módulo en dirección opuesta.

Ejemplo:

el opuesto de (2;1) es (-2 ; -1)

Método aritmético

Consiste en sumar las componentes de ambos vectores:

componente x de C = componente x de A + componente x de B

componente y de C = componente y de A + componente y de B

En la figura:

componente x de A = 1

componente x de B = 2

componente x de C = 1 + 2 = 3

componente y de A = 1

componente y de B = -2

componente y de C = 1 – 2 = -1

por lo tanto C = (3;-1)

Para restar vectores, simplemente se restan las componentes de la misma manera:

A – B = D

componente x de D = componente x de A – componente x de B

componente y de D = componente y de A – componente y de B

Vectores

Tienen 3 componentes:

• Módulo: Longitud neta del segmento
• Dirección: Inclinación del segmento. Puede medirse según el ángulo o según el valor de las componentes cartesianas.
• Sentido: Indica si avanza o retrocede (sólo hay 2 sentidos posibles para cada dirección).

Ejemplo:

En este vector las componentes son: 2i + j

o bien (2;1)

es decir x = 2; y = 1

Conociendo el valor de las componentes cartesianas, puede averiguarse el módulo por teorema de pitágoras.

Conociendo la dirección y el módulo, pueden averiguarse las componentes cartesianas por trigonometría.

Pitágoras

Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y 2 agudos.

El lado que se opone al ángulo recto se denomina hipotenusa.

Los otros 2 se denominan catetos.

Uno de los catetos se llamará opuesto y el otro adyacente, dependiendo a qué ángulo agudo consideremos.

En el triángulo que se muestra en la figura el CO es la longitud de la componente y, mientras que el CA es la longitud de la componente x (el eje y es vertical y el eje x es horizontal).

hip² = C_O² + C_A²

Por lo tanto:

hip = √(C_O² + C_A²)

Con el mismo razonamiento, conociendo uno de los catetos y la hipotenusa, se puede averiguar el valor del otro cateto.

Trigonometría

sen a = CO/hip

cos a = CA/hip

Si queremos averiguar la componente x:

CA = cos a . hip

Si queremos averiguar la componente y:

CO = sen a . hip

Fracciones propias

Son las que son menores que 1 entero (están entre 0 y 1).

Ejemplo:

1 entero = toda la pizza

La pizza está cortada en 8 porciones. En cada plato hay 1 porción, por lo tanto en cada plato hay 1/8 de pizza.

1 ------> numerador
8 -----> denominador

En la bandeja quedaron 6 porciones, entonces en la bandeja hay 6/8 lo cual es lo mismo que 3/4.

Para saber si una fracción es propia o no, tengo que comparar el numerador con el denominador. Si el numerador es menor que el denominador, significa que tengo menos partes que un entero, entonces es menor que un entero y por lo tanto es propia.

En el dibujo: una porción de pizza es menos que una pizza entera. La fracción es 1/8; 1 es menor que 8 por eso es propia. 6 también es menor que 8 por lo tanto 6/8 es propia. Para tener 1 entero tengo que tener las 8 porciones en las cuales partí la pizza; siempre que tenga menos de 8 porciones voy a tener menos que un entero (menos que una pizza entera).

Fracciones impropias

Son las que son mayores que un entero.

Ejemplo
:

Tengo 1 alfajor y medio. Como tengo más que 1 entero (más que 1 alfajor entero) la fracción es impropia.

Por lo tanto tengo 1 entero y ½

1 entero = 2/2
entonces tengo en total 3/2 de alfajor

3 es mayor que 2 por eso es propia.

Fracciones aparentes

Son las que significan una cantidad exacta de enteros. Ejemplo:

Tengo 1 empanada entera y otra empanada partida en 2 pedazos. Cada pedazo es ½ de empanada. Si tengo 2 pedazos tengo 2/2 de empanada, lo cual es igual de grande que tener 1 empanada entera (2/2 es lo mismo que un entero).

Por lo tanto 2/2 = 1

Por eso 2/2 es una fracción aparente.

Si tengo 3 chocolates y cada uno está dividido en 6 pedazos, en total tengo 18 pedazos:

6 . 3 = 18

Cada pedazo es 1/6. Así que tengo 18/6.

Por lo tanto tener 3 chocolates es lo mismo que tener 18/6 de chocolates. O sea que 3 enteros es lo mismo que 18/6.

3 = 18/6

Por lo tanto 18/6 es una fracción aparente.

Comparación de fracciones

Obsérvese que a igual denominador y distinto numerador, la fracción más grande es la que tiene mayor numerador, porque es cuando tengo más partes. Ejemplos:

1/8 es menor que 3/8 y 3/8 es menor que 5/8 porque 1 es menor que 3 y 3 es menor que 5.

En cambio a igual numerador, la fracción es mayor cuanto menor sea el denominador, porque es cuando las partes son más grandes. Ejemplos:

Denominador común

La obtención del denominador común entre 2 fracciones se basa en la siguiente fórmula:

a . b/b = a

Esto se debe a que todo número dividido por sí mismo da 1:

b/b= 1

Entonces:

a . b/b = a . 1

Todo número multiplicado por 1 da ese mismo número:

a . 1 = a

Por eso multiplicar y dividir a cierto número por el mismo número (al número “a” lo multiplico por “b” y después lo divido por “b”) da el mismo número que tenía antes (vuelve a dar “a”).

Basándonos en ese concepto podemos, por empezar, sumar a números enteros con fracciones:

a/b + c = a/b + c . 1 = a/b + c . b/b = (a + c.b)/b

Ejemplo:

3/5 + 2 = 3/5 + 2.1 = 3/5 + 2.5/5 = (3 + 2.5)/5 = (3 + 10)/5 = 13/5

Con el mismo criterio podemos sumar 2 fracciones de denominadores diferentes:

a/b + c/d = (a/b).(d/d) + (c/d).(b/b) = (a.d + c.b)/(b.d)

(Recordar que b . d = d . b)

Ejemplo:

2/3 + 3/4 = (2/3).(4/4) + (3/4).(3/3) = (2.4 + 3.3)/(4.3) = (8+9)/12 = 17/12

A veces es más conveniente factorizar los denominadores antes de obtener el denominador común. Por ejemplo:

Supongamos que b = d . e

Entonces:

a/b + c/d = a/(d.e) + c/d = a/(d.e) + (c/d).(e/e) = (a + c.e)/(d.e)

Ejemplo:

1/2 + 1/6 = 1/2 + 1/(2.3) = (1/2).(3/3) + 1/(2.3) = (3 + 1)/(2.3) = 4/(2.3) =

= (2.2)/(2.3) = 2/3

(En el último paso factorizamos la fracción para simplificarla hasta su fracción irreducible)

También sucede que el Mínimo Común Múltiplo no necesariamente es multiplicar los 2 denominadores entre sí, aunque no sean uno múltiplo del otro. Para darse cuenta de esto también conviene factorizar. Supongamos que:

b = e . f

d = e . g

Entonces:

a/b + cd = a/(e.f) + c/(e.g) = (a/(e.f)).(g/g) + (c/(e.g)).(f/f) = (a.g + c.f)/(e.g.f)

Ejemplo:

1/6 + 2/15 = 1/(3.2) + 2/(3.5) = (1/(3.2)).(5/5) + (2/(3.5)).(2/2) =

= (5+4)/(3.5.2) = 9/(3.5.2) = (3.3)/(3.5.2) = 3/(5.2) = 3/10

(En el último paso también factorizamos)

Hibridización de orbitales

sp³

El carbono tiene CEE = 2s² 2p² en su estado fundamental. En su estado excitado un electrón s salta al nivel p y queda CEE = 2s¹ 2p³. Para formar los 4 enlaces simples (todos s) que necesita para alcanzar el octeto, debe conseguir que los 4 enlaces tengan la misma distancia y energía de enlace y que los ángulos de todos con todos sean los mismos. Para conseguir esto necesita que los orbitales sean iguales. Entonces se hibridizan en un tipo de orbital intermedio entre el s y el p, denominado sp³ porque tiene 1 electrón s y 3 electrones p (25% s, 75% p).

Esto es lo que ocurre con todos los enlaces simples de los elementos que cumplen con el octeto. Por ejemplo el oxígeno tiene CEE = 2s² 2p⁴ en su estado fundamental, lo cual implica que tiene 2 pares de electrones libres (que son 2 orbitales) y 2 electrones que formarán enlace (cada enlace será otro orbital), así que tiene en total 4 orbitales. Un par de electrones libres será un orbital s, el otro será un orbital p y los 2 electrones que forman enlace serán del orbital p. Para equiparar las distancias y energías de enlace estos 4 orbitales se hibridizan dando sp³. Esta es la hibridización que tendrá el oxígeno dentro del agua, dado que el agua consta de 2 enlaces simples.

sp²

Cuando el carbono forma un enlace doble, tiene 3 enlaces s y uno p (el enlace doble consta de un enlace s y uno p). El enlace p está formado por un orbital p puro (sin hibridizar). Los otros 3 orbitales son los que se van a hibridizar. Entonces tenemos 2 electrones p y uno s, por ende es sp² (1/3 s y 2/3 p).

Esto ocurre con todos los enlaces dobles de los elementos que cumplen con el octeto. Por ejemplo, el oxígeno puede utilizar uno de sus orbitales p para formar un enlace p, y quedan otros 3 orbitales que son: un par de electrones libres del orbital s, un par de electrones libres del orbital p y otro electrón del orbital p que también formará enlace. Entonces tenemos un orbital s y 2 orbitales p, que se hibridizan dando sp². Esta es la hibridización del oxígeno gaseoso, que consta de una unión doble (un enlace s y uno p).

También ocurre con los enlaces simples de algunos elementos que no cumplen con el octeto, por ejemplo: el boro. El boro tiene CEE = 2s² 2p¹ en su estado fundamental, y en su estado excitado pasa a ser CEE = 2s¹ 2p². Por lo tanto tiene 2 electrones p y uno s, con los cuales hace 3 orbitales sp² y formará un enlace simple con cada uno de ellos, resultando por ejemplo BF₃, ubicándose en una geometría triangular que es muy estable (la geometría es lo que determina que no cumpla con el octeto). Nótese que el carbono con el enlace doble también resulta dar una geometría triangular.

sp

Cuando el carbono forma algún enlace triple, tiene 2 enlaces s y 2 enlaces p (el enlace triple consta de un enlace s y 2 enlaces p). Entonces solo tiene que hibridizar 2 orbitales que son uno s y el otro p, así resulta el orbital sp que es 50% s y 50% p. La geometría resultante es lineal, estando para un lado el enlace simple y para el otro lado el enlace triple formando un ángulo llano (180º). Lo mismo ocurre cuando el carbono forma 2 enlaces dobles, quedando un enlace doble para cada lado, teniendo entonces para cada lado un enlace s y un enlace p. La causa de este tipo de hibridización es que haya 2 enlaces p, sin importar si estén formando un enlace triple o 2 enlaces dobles.

Esta hibridización se da con todos los enlaces triples de los elementos que cumplen con el octeto dado que todos tienen 2 enlaces p. Por ejemplo el nitrógeno tiene CEE = 2s² 2p³ en su estado fundamental. El N₂ utilizará 2 electrones p para formar cada uno un enlace p, restando entonces 2 electrones s y un electrón p. Uno de esos electrones formará un enlace s y los otros 2 formarán el par de electrones libres, así que tenemos un orbital s y un orbital p que se van a hibridizar, dando como resultado sp.

También ocurre con algunos enlaces simples de algunos elementos que no cumplen con el octeto, por ejemplo: el berilio tiene CEE = 2s² en su estado fundamental y CEE = 2s¹ 2p¹ en su estado excitado, entonces tiene 1 electron s y 1 electron p, que se hibridizan de forma sp dando cada uno un enlace simple, por ejemplo BeCl₂, que es estable debido a su geometría lineal.