Denominador común

La obtención del denominador común entre 2 fracciones se basa en la siguiente fórmula:

a . b/b = a

Esto se debe a que todo número dividido por sí mismo da 1:

b/b= 1

Entonces:

a . b/b = a . 1

Todo número multiplicado por 1 da ese mismo número:

a . 1 = a

Por eso multiplicar y dividir a cierto número por el mismo número (al número “a” lo multiplico por “b” y después lo divido por “b”) da el mismo número que tenía antes (vuelve a dar “a”).

Basándonos en ese concepto podemos, por empezar, sumar a números enteros con fracciones:

a/b + c = a/b + c . 1 = a/b + c . b/b = (a + c.b)/b

Ejemplo:

3/5 + 2 = 3/5 + 2.1 = 3/5 + 2.5/5 = (3 + 2.5)/5 = (3 + 10)/5 = 13/5

Con el mismo criterio podemos sumar 2 fracciones de denominadores diferentes:

a/b + c/d = (a/b).(d/d) + (c/d).(b/b) = (a.d + c.b)/(b.d)

(Recordar que b . d = d . b)

Ejemplo:

2/3 + 3/4 = (2/3).(4/4) + (3/4).(3/3) = (2.4 + 3.3)/(4.3) = (8+9)/12 = 17/12

A veces es más conveniente factorizar los denominadores antes de obtener el denominador común. Por ejemplo:

Supongamos que b = d . e

Entonces:

a/b + c/d = a/(d.e) + c/d = a/(d.e) + (c/d).(e/e) = (a + c.e)/(d.e)

Ejemplo:

1/2 + 1/6 = 1/2 + 1/(2.3) = (1/2).(3/3) + 1/(2.3) = (3 + 1)/(2.3) = 4/(2.3) =

= (2.2)/(2.3) = 2/3

(En el último paso factorizamos la fracción para simplificarla hasta su fracción irreducible)

También sucede que el Mínimo Común Múltiplo no necesariamente es multiplicar los 2 denominadores entre sí, aunque no sean uno múltiplo del otro. Para darse cuenta de esto también conviene factorizar. Supongamos que:

b = e . f

d = e . g

Entonces:

a/b + cd = a/(e.f) + c/(e.g) = (a/(e.f)).(g/g) + (c/(e.g)).(f/f) = (a.g + c.f)/(e.g.f)

Ejemplo:

1/6 + 2/15 = 1/(3.2) + 2/(3.5) = (1/(3.2)).(5/5) + (2/(3.5)).(2/2) =

= (5+4)/(3.5.2) = 9/(3.5.2) = (3.3)/(3.5.2) = 3/(5.2) = 3/10

(En el último paso también factorizamos)