Vectores

Tienen 3 componentes:

• Módulo: Longitud neta del segmento
• Dirección: Inclinación del segmento. Puede medirse según el ángulo o según el valor de las componentes cartesianas.
• Sentido: Indica si avanza o retrocede (sólo hay 2 sentidos posibles para cada dirección).

Ejemplo:

En este vector las componentes son: 2i + j

o bien (2;1)

es decir x = 2; y = 1

Conociendo el valor de las componentes cartesianas, puede averiguarse el módulo por teorema de pitágoras.

Conociendo la dirección y el módulo, pueden averiguarse las componentes cartesianas por trigonometría.

Pitágoras

Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y 2 agudos.

El lado que se opone al ángulo recto se denomina hipotenusa.

Los otros 2 se denominan catetos.

Uno de los catetos se llamará opuesto y el otro adyacente, dependiendo a qué ángulo agudo consideremos.

En el triángulo que se muestra en la figura el CO es la longitud de la componente y, mientras que el CA es la longitud de la componente x (el eje y es vertical y el eje x es horizontal).

hip² = C_O² + C_A²

Por lo tanto:

hip = √(C_O² + C_A²)

Con el mismo razonamiento, conociendo uno de los catetos y la hipotenusa, se puede averiguar el valor del otro cateto.

Trigonometría

sen a = CO/hip

cos a = CA/hip

Si queremos averiguar la componente x:

CA = cos a . hip

Si queremos averiguar la componente y:

CO = sen a . hip

Fracciones propias

Son las que son menores que 1 entero (están entre 0 y 1).

Ejemplo:

1 entero = toda la pizza

La pizza está cortada en 8 porciones. En cada plato hay 1 porción, por lo tanto en cada plato hay 1/8 de pizza.

1 ------> numerador
8 -----> denominador

En la bandeja quedaron 6 porciones, entonces en la bandeja hay 6/8 lo cual es lo mismo que 3/4.

Para saber si una fracción es propia o no, tengo que comparar el numerador con el denominador. Si el numerador es menor que el denominador, significa que tengo menos partes que un entero, entonces es menor que un entero y por lo tanto es propia.

En el dibujo: una porción de pizza es menos que una pizza entera. La fracción es 1/8; 1 es menor que 8 por eso es propia. 6 también es menor que 8 por lo tanto 6/8 es propia. Para tener 1 entero tengo que tener las 8 porciones en las cuales partí la pizza; siempre que tenga menos de 8 porciones voy a tener menos que un entero (menos que una pizza entera).

Fracciones impropias

Son las que son mayores que un entero.

Ejemplo
:

Tengo 1 alfajor y medio. Como tengo más que 1 entero (más que 1 alfajor entero) la fracción es impropia.

Por lo tanto tengo 1 entero y ½

1 entero = 2/2
entonces tengo en total 3/2 de alfajor

3 es mayor que 2 por eso es propia.

Fracciones aparentes

Son las que significan una cantidad exacta de enteros. Ejemplo:

Tengo 1 empanada entera y otra empanada partida en 2 pedazos. Cada pedazo es ½ de empanada. Si tengo 2 pedazos tengo 2/2 de empanada, lo cual es igual de grande que tener 1 empanada entera (2/2 es lo mismo que un entero).

Por lo tanto 2/2 = 1

Por eso 2/2 es una fracción aparente.

Si tengo 3 chocolates y cada uno está dividido en 6 pedazos, en total tengo 18 pedazos:

6 . 3 = 18

Cada pedazo es 1/6. Así que tengo 18/6.

Por lo tanto tener 3 chocolates es lo mismo que tener 18/6 de chocolates. O sea que 3 enteros es lo mismo que 18/6.

3 = 18/6

Por lo tanto 18/6 es una fracción aparente.

Comparación de fracciones

Obsérvese que a igual denominador y distinto numerador, la fracción más grande es la que tiene mayor numerador, porque es cuando tengo más partes. Ejemplos:

1/8 es menor que 3/8 y 3/8 es menor que 5/8 porque 1 es menor que 3 y 3 es menor que 5.

En cambio a igual numerador, la fracción es mayor cuanto menor sea el denominador, porque es cuando las partes son más grandes. Ejemplos:

Denominador común

La obtención del denominador común entre 2 fracciones se basa en la siguiente fórmula:

a . b/b = a

Esto se debe a que todo número dividido por sí mismo da 1:

b/b= 1

Entonces:

a . b/b = a . 1

Todo número multiplicado por 1 da ese mismo número:

a . 1 = a

Por eso multiplicar y dividir a cierto número por el mismo número (al número “a” lo multiplico por “b” y después lo divido por “b”) da el mismo número que tenía antes (vuelve a dar “a”).

Basándonos en ese concepto podemos, por empezar, sumar a números enteros con fracciones:

a/b + c = a/b + c . 1 = a/b + c . b/b = (a + c.b)/b

Ejemplo:

3/5 + 2 = 3/5 + 2.1 = 3/5 + 2.5/5 = (3 + 2.5)/5 = (3 + 10)/5 = 13/5

Con el mismo criterio podemos sumar 2 fracciones de denominadores diferentes:

a/b + c/d = (a/b).(d/d) + (c/d).(b/b) = (a.d + c.b)/(b.d)

(Recordar que b . d = d . b)

Ejemplo:

2/3 + 3/4 = (2/3).(4/4) + (3/4).(3/3) = (2.4 + 3.3)/(4.3) = (8+9)/12 = 17/12

A veces es más conveniente factorizar los denominadores antes de obtener el denominador común. Por ejemplo:

Supongamos que b = d . e

Entonces:

a/b + c/d = a/(d.e) + c/d = a/(d.e) + (c/d).(e/e) = (a + c.e)/(d.e)

Ejemplo:

1/2 + 1/6 = 1/2 + 1/(2.3) = (1/2).(3/3) + 1/(2.3) = (3 + 1)/(2.3) = 4/(2.3) =

= (2.2)/(2.3) = 2/3

(En el último paso factorizamos la fracción para simplificarla hasta su fracción irreducible)

También sucede que el Mínimo Común Múltiplo no necesariamente es multiplicar los 2 denominadores entre sí, aunque no sean uno múltiplo del otro. Para darse cuenta de esto también conviene factorizar. Supongamos que:

b = e . f

d = e . g

Entonces:

a/b + cd = a/(e.f) + c/(e.g) = (a/(e.f)).(g/g) + (c/(e.g)).(f/f) = (a.g + c.f)/(e.g.f)

Ejemplo:

1/6 + 2/15 = 1/(3.2) + 2/(3.5) = (1/(3.2)).(5/5) + (2/(3.5)).(2/2) =

= (5+4)/(3.5.2) = 9/(3.5.2) = (3.3)/(3.5.2) = 3/(5.2) = 3/10

(En el último paso también factorizamos)