Factorizar

Cuatrinomio cubo perfecto

1. 8y³ + 125x³ + 60xy² + 150yx² =
2. 343a³ + 147a² + 21a + 1 =
3. 17xy² + 27y³ + 9x²y + x³ =
4. 6a²b²x + 8x³ + 12abx² + a³b³ =
5. 8x³ + 36a² + 54a + 27 =
6. x³ + 57x² + 1083x + 6859 =
7. x³ – 3x² + 3x – 1 =
8. x³ – 3ax² + 3a²x – a³ =
9. x³ – 9x²y + 27xy² – 27y³ =
10. 6xy² + 8x³ – y³ - 12 x²y =

Factor común en grupos

1. 7a + 7b + bx + ax =
2. x² + 2x + 5a + 7 =
3. 3xy + 3 + 9x + y =
4. 15 + ab + 3b + 5a =
5. 25a – ax + 25 – x =
6. ax + 3b – 3a – bx =
7. abx + x – ab – 1 =
8. 8b – xb + 32 – 4x =
9. 5x + 55m + x² + 11mx =
10. a² + ay + a + y =

Diferencia de cuadrados

1. x² – 1 =
2. x⁴ – 25 =
3. x² – 4 =
4. a²b² – 9 =
5. a² – b² =
6. x²y⁶ – 16 =
7. 4x² – 9y⁴ =
8. -25y⁶ + 16 =
9. -4 + a²b² =
10. - 9b² + a² =

Trinomio cuadrado perfecto

1. x² + 1 + 2x =
2. 9 + 12x + 4x² =
3. a²b² + 2ab + 1 =
4. a²b² + 2aby + y² =
5. x² + 4 – 4x =
6. x² – 2x + 1 =
7. a² – 2ax + x² =
8. a² + 4x² – 4ax =
9. 25 – 10a + a² =
10. 4a² + 8ab + 4b² =

Entropía y Entalpía

Existe una ecuación que relaciona la entropía y la entalpía con la energía libre de Gibbs, por lo tanto sirve para determinar la espontaneidad de una reacción conociendo su variación de entropía y su entalpía.

d = delta (variación)

dG = dH - TdS

Si dH < 0 y dS > 0 entonces dG es negativo a cualquier temperatura

por lo tanto: Es espontáneo a cualquier temperatura

Si dH > 0 y dS < 0 entonces dG es positivo a cualquier temperatura

por lo tanto: Es no espontáneo a cualquier temperatura

Si dH < 0 y dS < 0 entonces - TdS es positivo, entonces dG será negativo a bajas temperaturas

por lo tanto: Es espontáneo sólo a bajas temperaturas

Si dH > 0 y dS > 0 entonces - TDS es negativo, entonces dG será negativo a altas temperaturas

por lo tanto: Es espontáneo sólo a altas temperaturas

Números de oxidación en oxoácidos

El número de oxidación en compuestos iónicos monoatómicos es igual a su carga neta. En compuestos que no son monoatómicos e incluso que no son iónicos, tiene que ver además con la cantidad de electrones que utilizan en la unión. En un compuesto covalente neutro, el número de oxidación de un átomo es la cantidad de electrones que comparte y su signo depende de la electronegatividad. Cada par electrónico enlazante es compartido por 2 átomos, de esos 2 el más electronegativo tendrá número de oxidación negativo y el otro tendrá número de oxidación positivo.

Los oxoácidos están compuestos por un no metal oxidado y algún protón que está unido a uno de los oxígenos. Pueden contener diferente cantidad de oxígeno, y según esa cantidad se les asigna un nombre distinto. La cantidad de oxígeno define la cantidad de electrones compartidos y por ende el número de oxidación. Tomaremos el caso de los halógenos que pueden tener 4 números de oxidación distintos.

Este oxoácido tiene 1 solo oxígeno y el halógeno está compartiendo 1 solo electrón, por lo tanto su número de oxidación es +1 y es el menor de todos (el oxígeno siempre tendrá número de oxidación –2, porque es más electronegativo que cualquier otro átomo y siempre comparte 2 electrones).

El nombre de este compuesto será: ácido hipo(halógeno)oso, por ejemplo: ácido hipocloroso.

Este oxoácido tiene 2 oxígenos y el halógeno está compartiendo 3 electrones (presenta una unión dativa). Por lo tanto su número de oxidación es +3.

Se llamará ácido (halógeno)oso, por ejemplo: ácido cloroso.

El oxoanión correspondiente se llamará ion(halógeno)ito, por ejemplo: ion hipoclorito.

Este oxoácido tiene 3 oxígenos y el halógeno está compartiendo 5 electrones (presenta 2 uniones dativas). Por lo tanto su número de oxidación es +5.

Se llamará ácido (halógeno)ico, por ejemplo: ácido clórico.

El oxoanión correspondiente se llamará ion (halógeno)ato ejemplo: ion clorato.

Este oxoácido tiene 4 oxígenos y el halógeno está compartiendo sus 7 electrones (presenta 3 uniones dativas, comparte todos los electrones que tiene). Por lo tanto su número de oxidación es +7.

Se llamará ácido per(halógeno)ico, por ejemplo: ácido perclórico.

El oxoanión correspondiente se llamará ion per(halógeno)ato ejemplo: ion perclorato.

MRUV

Se trata de un movimiento en línea recta donde la velocidad varía linealmente en función del tiempo. La pendiente de la ecuación de velocidad es la aceleración y su ordenada al origen es la velocidad inicial.

a = dv/dt

(cuánto aumenta o disminuye la velocidad instantánea por unidad de tiempo)

[a] = [v] / [t] = ( [x] / [t] )/ [t] = [x] / [t]² = m/s²

v = at + v₀

Retomando el concepto de pendiente para derivadas, la velocidad es la derivada de la posición. Por lo tanto para obtener la ecuación de la posición se debe integrar la ecuación de velocidad, obteniéndose lo siguiente:

x = ½ at² + v₀t + x₀

Se trata de una función cuadrática. El objeto llegará a una posición mínima o máxima y luego retrocederá. En cada punto la velocidad instantánea es la pendiente de la recta tangente al gráfico de la posición, lo cual se calcula por derivadas.

Son casos particulares de MRUV:

caída libre: El objeto se deja caer desde una cierta altura y cae verticalmente.

tiro vertical: El objeto se lanza verticalmente, sube hasta una altura máxima y luego cae verticalmente.

En ambos casos la aceleración es g = 9,8 m/s²

(aceleración gravitatoria)

MRU

Se trata de un movimiento en línea recta donde la posición varía linealmente en función del tiempo:

Se considera tiempo negativo a lo que ocurrió antes que el 0 de nuestro sistema de referencia. Se considera posición negativa a lo que se encuentra antes que el 0 de nuestro sistema de referencia.

Al elegir un sistema de referencia en el espacio no sólo debe ubicarse dónde se encuentra el 0 sino también para cual de los 2 sentidos se considera que la recta avanza.

Si el objeto se mueve en sentido contrario que nuestro sistema de referencia, se considera que tiene velocidad negativa.

La pendiente de la recta es la velocidad (es constante para este tipo de movimiento). No hay aceleración (a = 0), esto es lo que anula el término cuadrático que se ve en MRUV.

La ordenada al origen es la posición inicial (posición en tiempo 0).

v = dx/dt

(cuánta distancia se avanza o retrocede por unidad de tiempo)

[v] = [x] / [t] = m/s

x = vt + x₀

Factorización de números

Para factorizar un número se lo debe dividir sucesivamente por números primos (los que sólo son divisibles por sí mismo y por el 1).

El primer número primo es el 2, le sigue el 3, después el 5, el 7, el 11...

El 4 no es primo porque es divisible por 2, el 6 no es primo porque es divisible por 2 y por 3...

Se debe probar primero con el primer número primo (el 2), después con el segundo (el 3), después con el tercero (el 5) y así sucesivamente. Luego de dividir sucesivas veces por 2, cuando ya no sea divisible por 2 se lo divide por 3. Luego de dividir sucesivas veces por 3, cuando ya no sea divisible por 3 se lo divide por 5. Y así sucesivamente hasta que el resultado de la división sea 1. Con esto se obtienen todos los números primos que lo dividen y cuántas veces lo puede dividir cada uno.

Ejemplo:

Por lo tanto:

2520 = 2³.3².5.7

Esta técnica es útil cuando tenemos raíces que no dan justo. Ejemplo:

Asíntotas

Factorización de polinomios

1. Busco factor común. Si todos los términos contienen x, el factor común será x al menor exponente que aparezca. Dentro del paréntesis, las x serán n grados menores siendo n el exponente del factor común. Ejemplos:

2x⁴ + x³ + -15x² – 18x = x (2x³ + x² + -15x – 18)

Las x que figuran entre paréntesis son 1 grado menor que antes de factorizar porque el factor que sacamos es x¹

2x⁶ + x⁵ + -15x³ – 18x² = x² (2x⁴ + x³ + -15x – 18)

Las x que figuran entre paréntesis son 2 grados menores que antes de factorizar porque el factor que sacamos es x²

2. Si conozco previamente alguno de los ceros del polinomio, utilizo ese dato para aplicar Ruffini. Ejemplo:

x (2x³ + x² + -15x – 18) = x (x – 3) (2x² + 7x + 6)

Puedo calcular esta equivalencia por Ruffini si conozco de antemano que 3 es cero del polinomio.

3. Las cuadráticas que me queden como factores les aplico la fórmula de los ceros de la cuadrática. Con eso puedo convertir una cuadrática en 2 lineales (si tiene 2 ceros), o en una lineal al cuadrado (si tiene un cero doble), o descubrir que no se puede factorizar (si no tiene ceros).

Ruffini

Se trata de un método rápido de dividir un polinomio por otro.

Sea x₁ es cero del polinomio axⁿ + bx^m + c^o...

entonces ese polinomio es igual a (x - x₁)(dx^n-1 + fx^m-1 + g^o-1...).

Para dividir a un polinomio se colocan todos los coeficientes en fila y el cero del polinomio a la izquierda. Los coeficientes deben estar ordenados por grado. Se suma la columna, el resultado se multiplica por el cero y se coloca en la siguiente columna. Se repite el procedimiento hasta llegar a la última columna, donde la suma debe dar cero.

Los coeficientes obtenidos en las sucesivas sumas serán en el factor resultante los coeficientes de la x de grado inmediatamente menor al de la x original a la que correspondia el coeficiente que se sumó.

Para que la division de exacto, la última suma debe dar cero. Si c es el último coeficiente, entonces:

(b + a x₁) x₁ + c = 0

a debe ser el coeficiente de la x de mayor grado, b la que le sigue, c la que le sigue a b, y asi sucesivamente. Si algun grado no figura en el polinomio, no se lo debe saltear sino colocarse un 0 en ese casillero. Ejemplo:

Si vamos a dividir el polinomio 6x⁵ + 3x³ + x² + 1 los coeficientes serán, de izq a der: 6, 0, 3, 1, 0, 1 (los coeficientes que valen 0 corresponden a los términos de x⁴ y x).

El resultado de la suma de la primera columna corresponderá a x⁴ porque provenía del coeficiente de x⁵, el resultado de la suma de la segunda columna corresponderá a x³ porque provenía del coeficiente de x⁴ y asi sucesivamente.

Ejemplo de división:

3 es cero del polinomio 2x³ + x² –15x – 18

Por lo tanto 2x³ + x² + -15x – 18 = (x – 3) (2x² + 7x + 6)

Determinante

ax² + bx + c = 0

x = (-b +/- (raiz cuadrada de) (b^2 - 4ac))/2a

det = b² – 4ac

Si det mayor a 0 entonces: Hay 2 ceros

Si det menor a 0 entonces: Hay que hacer raiz cuadrada de Nº negativo; No existe; No hay ceros

Si det = 0 entonces: x = -b/2a = vértice; Hay un solo cero y coincide con el vértice