Teorema de Bolzano

Sea f(x) una función continua en un intervalo [a;b]

Si f(a) tiene distinto signo que f(b) entonces hay un cero de la función entre a y b

Ejemplo:

f(a) es positiva y f(b) es negativa

por lo tanto hay un x₁ que es cero de la función tal que a es menor que x1 y b es mayor que x1

Con el mismo criterio podemos decir que:

Sea f(x) una función continua en un intervalo [a;b]

Si no hay ningún cero de la función entre a y b, entonces la función tiene todo el tiempo el mismo signo durante todo el intervalo [a;b].

Por lo tanto nos alcanza con averiguar el signo de un punto cualquiera que esté entre a y b, para saber el signo de todo el intervalo.

Ejemplo:

x1 es mayor que a y menor que b

f(x₁) es positiva

por lo tanto la función es positiva durante todo el intervalo [a;b]

Aplicaciones

Supongamos C⁰ = {x₁ ; x₂; x₃}

con x₁ menor que x2 y x2 menor que x3

Sabiendo esto armamos los siguientes intervalos:

1. (-infinito; x₁)
2. (x₁ ; x₂)
3. (x_{2 ;} x₃)
4. (x_{3 ;} + infinito)

Averiguamos el signo de un elemento cualquiera del intervalo 1, con eso sabemos el signo de todo el intervalo 1. Averiguamos el signo de un elemento cualquiera del intervalo 2, con eso sabemos el signo de todo el intervalo 2; y así sucesivamente.

Con eso podemos conocer C⁺ y C^-, lo cual es necesario para realizar el gráfico.

Uso de la derivada

Sea f ’(x) la derivada de f (x)

C⁺ de f ’(x) = C­(crecimiento) de f (x)

C^- de f ’(x) = C(decrecimiento) de f (x)

C⁰ de f ’(x)= puntos críticos de f(x)

Los puntos críticos pueden ser máximos locales (la función venía creciendo y después va a decrecer), mínimos locales (la función venía decreciendo y después va a crecer) o puntos de inflexión (cambios de curvatura)